非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

拟合是用一个连续函数(曲线)靠近给定的离散数据,使其与给定的数据相吻合。数据拟合的算法相对比较简单,但调用不同工具和方法时的函数定义和参数设置有所差异,往往使小白感到困惑。本文基于Scipy工具包,对单变量、多变量线性最小二乘拟合,指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合,单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果,数据拟合从此无忧。 1.数据拟合 在科学研究和工程应用中经常…

  • 拟合是用一个连续函数(曲线)靠近给定的离散数据,使其与给定的数据相吻合。
  • 数据拟合的算法相对比较简单,但调用不同工具和方法时的函数定义和参数设置有所差异,往往使小白感到困惑。
  • 本文基于 Scipy 工具包,对单变量、多变量线性最小二乘拟合,指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合,单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果,数据拟合从此无忧。

1. 数据拟合

在科学研究和工程应用中经常通过测量、采样、实验等方法获得各种数据。对一组已知数据点集,通过调整拟合函数(曲线)的参数,使该函数与已知数据点集相吻合,这个过程称为数据拟合,又称曲线拟合。

插值和拟合都是根据一组已知数据点,求变化规律和特征相似的近似曲线的过程。但是插值要求近似曲线完全经过所有的给定数据点,而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点,并反映数据的变化规律和发展趋势。因此插值可以看作是一种特殊的拟合,是要求误差函数为 0 的拟合。

1.1 数据拟合问题的分类

数据拟合问题,可以从不同角度进行分类:

  • 按照拟合函数分类,分为线性函数和非线性函数。非线性函数用于数据拟合,常用的有多项式函数、样条函数、指数函数和幂函数,针对具体问题还有自定义的特殊函数显示。
  • 按照变量个数分类,分为单变量函数和多变量函数。
  • 按照拟合模型分类,分为基于模型的数据拟合和无模型的函数拟合。基于模型的数据拟合,是通过建立数学模型描述输入输出变量之间的关系,拟合曲线不仅能拟合观测数据,拟合模型的参数通常具有明确的物理意义。而无模型的函数拟合,是指难以建立描述变量关系的数学模型,只能采用通用的函数和曲线拟合观测数据,例如多项式函数拟合、样条函数拟合,也包括机器学习和神经网络模型,这种模型的参数通常没有明确的意义。

1.2 数据拟合的原理和方法

数据拟合通过调整拟合函数中的待定参数,从整体上接近已知的数据点集。

这是一个优化问题,决策变量是拟合函数的待定参数,优化目标是观测数据与拟合函数的函数值之间的某种误差指标。典型的优化目标是拟合函数值与观测值的误差平方和;当观测数据的重要性不同或分布不均匀时,也可以使用加权误差平方和作为优化目标。

数据拟合的基本方法是最小二乘法。对于观测数据 ( x i , y i ) , i = 1 , . . n,将观测值 y i与拟合函数 y = f ( x , p ) 的计算值 f ( x i ) 的误差平方和最小作为优化问题的目标函数:

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

( p 1 , ⋯ p m ) 是拟合函数中的待定参数。

对于线性拟合问题,设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x , 由极值的必要条件 $ partial J/partial p_j = 0,; (j=0,1)$ 可以解出系数 p 0 , p 1 :

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

对于多变量线性最小二乘问题,设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x 1 + ⋯ + p m ∗ x m , 类似地,可以解出系数 p 0 , p 1 , ⋯ p m 。

对于非线性函数的拟合问题,通常也是按照最小二乘法的思路,求解上述误差平方和最小化这个非线性优化问题,常用的具体算法有搜索算法和迭代算法两类。

1.3 Python 数据拟合方法

数据拟合是常用算法,Python 语言的很多工具包都提供了数据拟合方法,常用的如 Scipy、Numpy、Statsmodel、Scikit-learn 工具包都带有数据拟合的函数与应用。

Scipy 是最常用的 Python 工具包,本系列中非线性规划、插值方法也都是使用 Scipy 工具包实现,因此仍以 Scipy 工具包讲解数据拟合问题。

Scipy 工具包对于不同类型的数据拟合问题,提供了不同的函数或类。由于 Scipy 工具包是多个团队合作完成,而且经过了不断更新,因此调用不同函数和方法时的函数定义和参数设置有所差异,往往使小白感到困惑。

本文对单变量、多变量线性最小二乘拟合,指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合,单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果,数据拟合从此无忧。

2. 线性最小二乘拟合

2.1 线性最小二乘拟合函数说明

线性最小二乘拟合是最简单和最常用的拟合方法。scipy.optimize 工具箱中的 leastsq()、lsq_linear(),scipy.stats 工具箱中的 linregress(),都可以实现线性最小二乘拟合。

2.1.1 scipy.optimize.leastsq 函数说明

leastsq() 根据观测数据进行最小二乘拟合计算,只需要观测值与拟合函数值的误差函数和待定参数 的初值,返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) ,但不能提供参数估计的统计信息。leastsq() 可以进行单变量或多变量线性最小二乘拟合,对变量进行预处理后也可以进行多项式函数拟合。

scipy.optimize.leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

主要参数

  • func:可调用的函数,描述拟合函数的函数值与观测值的误差,形式为 error(p,x,y),具有一个或多个待定参数 p。误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列,不能改变。
  • x0:一维数组,待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的初值。
  • args:元组,线性拟合时提供观测数据值 (xdata, ydata),观测数据 xdata 可以是一维数组(单变量问题),也可以是多维数组(多变量问题)。

返回值

  • x:一维数组,待定参数 ( p 1 , ⋯ p m )的最小二乘估计值。

2.1.2 scipy.stats.linregress 函数说明

linregress() 根据两组观测数据 (x,y) 进行线性最小二乘回归,不仅返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , p 1 ),而且可以提供参数估计的各种统计信息,但只能进行单变量线性拟合。

scipy.stats.linregress(x, y=None, alternative=‘two-sided’)

主要参数

  • x, y:x, y 是长度相同的一维数组。或者 x 是二维数组,且 y=none,则二维数组 x 相当于 长度相同的一维数组 x, y。

返回值

  • slope:斜率,直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 1。
  • intercept:截距,直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 0 。
  • rvalue:r^2 值,统计量。
  • pvalue:p 值,P检验的统计量。
  • stderr:标准差,统计量。

2.2 Python 例程:单变量线性拟合

程序说明

  1. scipy.optimize.leastsq() 与 scipy.stats.linregress() 都可以进行单变量线性拟合。leastsq() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题;linregress() 只能用于单变量问题,但可以给出很多参数估计的统计结果。
  2. leastsq() 要以子函数来定义观测值与拟合函数值的误差函数,例程中分别定义了拟合函数 fitfunc1(p, x) 与误差函数error1(p, x, y) ,是为了方便调用拟合函数计算拟合曲线在数据点的函数值。注意 p 为数组 。
  3. leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义,但误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列,不能改变次序。
  4. leastsq() 中观测数据 (x, yObs) 是以动态参数 args 的方式进行传递的。这种处理方式非常独特,没有为什么, leastsq() 就是这样定义的。
  5. linregress() 只要将观测数据 (x,yObs) 作为参数,默认单变量线性拟合,不需要定义子函数。
  6. leastsq() 与 linregress() 进行线性拟合,得到的参数估计结果是相同的。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
# Demo25 of mathematical modeling algorithm
# Demo of curve fitting with Scipy
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated:2021-08-03
# 1. 单变量线性拟合:最小二乘法 scipy.optimize.leastsq
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法拟合工具
from scipy.stats import linregress  # 导入 scipy 中的线性回归工具
def fitfunc1(p, x):  # 定义拟合函数为直线
    p0, p1 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + p1*x  # 拟合函数的表达式
    return y
def error1(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数
    err = fitfunc1(p,x) - y  # 误差
    return err
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
p = [2.5, 1.5]  # y = p[0] + p[1] * x
x = np.array([0., 0.5, 1.5, 2.5, 4.5, 5.5, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 10.0])
y = p[0] + p[1] * x  # 理论值 y
np.random.seed(1)
yObs = y + np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
# print(x.shape, y.shape, yObs.shape)
# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 pFit
p0 = [1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值
pFit, info = leastsq(error1, p0, args=(x,yObs))  # 最小二乘法求拟合参数
print(\"Data fitting with Scipy.optimize.leastsq\")
print(\"y = p[0] + p[1] * x\")
print(\"p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}\".format(pFit[0], pFit[1]))
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
yFit = fitfunc1(pFit,x)
# 比较:线性回归,可以返回斜率,截距,r 值,p 值,标准误差
slope, intercept, r_value, p_value, std = linregress(x, yObs)
print(\"nLinear regress with Scipy.stats.linregress\")
print(\"y = p[0] + p[1] * x\")
print(\"p[0] = {:.4f}\".format(intercept))  # 输出截距 intercept
print(\"p[1] = {:.4f}\".format(slope))  # 输出斜率 slope
print(\"r^2_value: {:.4f}\".format(r_value**2))  # 输出 r^2 值
print(\"p_value: {:.4f}\".format(p_value))  # 输出 p 值
print(\"std: {:.4f}\".format(std))  # 输出标准差 std
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.text(8,3,\"youcans-xupt\",color=\'gainsboro\')
ax.set_title(\"Data fitting with linear least squares\")
plt.scatter(x, yObs, label=\"observed data\")
plt.plot(x, y, \'r--\', label=\"theoretical curve\")
plt.plot(x, yFit, \'b-\', label=\"fitting curve\")
plt.legend(loc=\"best\")
plt.show()

程序运行结果

Data fitting with Scipy.optimize.leastsq
y = p[0] + p[1] * x
p[0] = 2.2688
p[1] = 1.5528
Linear regress with Scipy.stats.linregress
y = p[0] + p[1] * x
p[0] = 2.2688
p[1] = 1.5528
r^2_value: 0.9521
p_value: 0.0000
std: 0.1161

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

2.3 Python 例程:多变量线性拟合

程序说明

  1. scipy.optimize.leastsq() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题,本例程求解一个二元线性拟合问题:y = p[0] + p[1] * x1 + p[2] * x2。
  2. leastsq() 求解多变量问题的方法与单变量问题类似,以子函数 error2(p, x1, x2, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数,以动态参数 args 的方式传递观测数据 (x, yObs) 。
  3. leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义,但误差函数的参数必须按照 (p,x1,x2,y) 的顺序排列,不能改变次序。
  4. scipy 只能做一元线性回归,例程中通过调用 statsmodels.api 进行多元线性回归,可以得到各种统计参数,供读者参考。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
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# Crated:2021-08-03
# 2. 多变量线性拟合:最小二乘法 scipy.optimize.leastsq
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法工具
def fitfunc2(p, x1, x2):  # 定义拟合函数为直线
    p0, p1, p2 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + p1*x1 + p2*x2  # 拟合函数的表达式
    return y
def error2(p, x1, x2, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数
    err = fitfunc2(p, x1, x2) - y  # 计算残差
    return err
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
np.random.seed(1)
p = [2.5, 1.5, -0.5]  # y = p[0] + p[1] * x1 + p[2] * x2
x1 = np.array([0., 0.5, 1.5, 2.5, 4.5, 5.5, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 10.0])
x2 = np.array([0., 1.0, 1.5, 2.2, 4.8, 5.0, 6.3, 6.8, 7.1, 7.5, 8.0])
z = p[0] + p[1]*x1 + p[2]*x2  # 理论值 z
zObs = z + np.random.randn(x1.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
print(x1.shape, z.shape, zObs.shape)
# 由给定数据点集 (x,z) 求拟合函数的参数 pFit
p0 = [1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值
pFit, info = leastsq(error2, p0, args=(x1,x2,zObs))  # 最小二乘法求拟合参数
print(\"Data fitting with Scipy.optimize.leastsq:\")
print(\"z = p[0] + p[1]*x1 + p[1]*x2\")
print(\"p[0]={:.4f}np[1]={:.4f}np[2]={:.4f}\".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2]))
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
zFit = fitfunc2(pFit, x1, x2)
# 多元线性回归:最小二乘法(OLS)
import statsmodels.api as sm
x0 = np.ones(x1.shape[-1])  # 截距列 x0=[1,...1]
X = np.column_stack((x0, x1, x2))  # (nSample,3): [x0, x1, x2]
model = sm.OLS(zObs, X)  # 建立 OLS 模型: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2 + e
results = model.fit()  # 返回模型拟合结果
zFit = results.fittedvalues  # 模型拟合的 y值
print(results.summary())  # 输出回归分析的摘要
print(\"nOLS model: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2\")
print(\'Parameters: \', results.params)  # 输出:拟合模型的系数

程序运行结果

Data fitting with Scipy.optimize.leastsq
z = p[0] + p[1]*x1 + p[1]*x2
p[0]=2.6463
p[1]=2.2410
p[2]=-1.3710
OLS Regression Results 
OLS model: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2
Parameters:  [ 2.64628055  2.24100973 -1.37104475]
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const          2.6463      0.942      2.808      0.023       0.473       4.820
x1             2.2410      1.043      2.148      0.064      -0.165       4.647
x2            -1.3710      1.312     -1.045      0.326      -4.396       1.654
==============================================================================

3. 非线性函数数据拟合

3.1 非线性拟合函数说明

非线性函数是非常广泛的概念。本节讨论指数函数、多项式函数和样条函数三种常用的通用形式的非线性函数拟合问题,分别使用了 Scipy 工具包中的 scipy.optimize.leastsq()、scipy.linalg.lstsq() 和
scipy.interpolate.UnivariateSpline() 函数。

scipy.optimize.leastsq() 的使用方法已在本文 2.1 中进行了介绍,
scipy.interpolate.UnivariateSpline() 的使用方法在《22. 插值方法》文中进行了介绍,以下介绍 scipy.linalg.lstsq() 函数。

lstsq() 函数只要传入观测数据 (x,yObs),并将 x 按多项式阶数转换为 X,即可求出多项式函数的系数,不需要定义拟合函数或误差函数,非常适合比较不同阶数的多项式函数拟合的效果。

scipy.linalg.lstsq(a, b, cond=None, overwrite_a=False, overwrite_b=False, check_finite=True, lapack_driver=None)

主要参数

  • a:(m,n) 数组,表示方程 Ax=b 的左侧。
  • b:(m,) 数组,表示方程 Ax=b 的右侧。

返回值

  • x:最小二乘的解,指多项式函数的系数。

注意:lstsq() 函数中求解方程 Ax=b,A 是指由观测数据 x i x_ix 按多项式阶数转换为矩阵 ( x i 0 , x i 1 , . . . x i m ) , i = 1 , ,n,b 是指 y i , i = 1 ,,n,而 x 是指多项式函数的系数,详见例程。

3.2 Python 例程:指数函数拟合

程序说明

  1. scipy.optimize.leastsq() 本质上是求解带有待定参数的误差函数最小化问题,因此可以用于指数函数的最小二乘拟合。类似地,原理上 leastsq() 也可以用于其它形式非线性函数的拟合问题,但对于某些函数拟合误差可能会比较大。
  2. leastsq() 以子函数 error3(p, x, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数,以动态参数 args 的方式传递观测数据 (x, yObs) 。
  3. leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义,但误差函数的参数必须按照 (p,x1,x2,y) 的顺序排列,不能改变次序。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
# Demo25 of mathematical modeling algorithm
# Demo of curve fitting with Scipy
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
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# 3. 非线性函数拟合:指数函数拟合(exponential function)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法工具
def fitfunc3(p, x):  # 定义拟合函数
    p0, p1, p2 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)  # 拟合函数的表达式
    return y
def error3(p, x, y):  # 定义残差函数
    err = fitfunc3(p,x) - y  # 残差
    return err
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
p = [0.5, 2.5, 1.5]  # y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)
x = np.linspace(0, 5, 50)
y = fitfunc3(p, x)
np.random.seed(1)
yObs = y + 0.2*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
# print(x.shape, y.shape, yObs.shape)
# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 pFit
p0 = [1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值
pFit, info = leastsq(error3, p0, args=(x,yObs))  # 最小二乘法求拟合参数
print(\"Data fitting of exponential function\")
print(\"y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)\")
print(\"p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}\".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2]))
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
yFit = fitfunc3(pFit, x)
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.set_title(\"Data fitting of exponential function\")
plt.scatter(x, yObs, label=\"observed data\")
plt.plot(x, y, \'r--\', label=\"theoretical curve\")
plt.plot(x, yFit, \'b-\', label=\"fitting curve\")
plt.legend(loc=\"best\")
plt.show()

程序运行结果

Data fitting of exponential function
y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)
p[0] = 0.5216
p[1] = 2.5742
p[2] = 1.6875

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

3.3 Python 例程:多项式函数拟合

程序说明

  1. scipy.optimize.leastsq() 本质上是求解带有待定参数的误差函数最小化问题,因此可以用于多项式函数的最小二乘拟合,使用方法与线性拟合、指数拟合类似。
  2. 由于 leastsq() 要以子函数 error(p, x, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数,在比较不同阶数的多项式函数拟合时需要定义多个对应的误差函数,比较繁琐。
  3. scipy.linalg.lstsq() 只要传入观测数据 (x,yObs),并将 x 按多项式阶数转换为 X,即可求出多项式函数的系数,不需要定义拟合函数或误差函数,非常适合比较不同阶数的多项式函数拟合的效果。
  4. 对于相同阶数的多项式函数,leastsq() 与 lstsq() 的参数估计和拟合结果是相同的。
  5. 增大多项式的阶数,可以减小拟合曲线与观测数据的误差平方和,但也更容易导致过拟合,虽然能更好地拟合训练数据,但并不能真实反映数据的总体规律,因而对于训练数据以外的测试数据的拟合效果反而降低了。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
# Demo25 of mathematical modeling algorithm
# Demo of curve fitting with Scipy
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# 4. 非线性函数拟合:多项式函数拟合(Polynomial function)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.linalg import lstsq  # 导入 scipy 中的 linalg, stats 函数库
from scipy.optimize import leastsq  # 导入 scipy 中的最小二乘法工具
def fitfunc4(p, x):  # 定义拟合函数
    p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + p1*x + p2*x*x + p3*x*x*x  # 拟合函数的表达式
    return y
def error4(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数
    err = fitfunc4(p,x) - y  # 残差
    return err
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
p = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8]  # y = p0 + ((x*x-p1)**2+p2) * np.sin(x*p3)
func = lambda x: p[0]+((x*x-p[1])**2+p[2])*np.sin(x*p[3])  # 定义 y=f(x)
x = np.linspace(-1, 2, 30)
y = func(x)  # 计算已知数据点的理论值 y =f(x)
np.random.seed(1)
yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据 yObs
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.set_title(\"Polynomial fitting with least squares\")
plt.scatter(x, yObs, label=\"observed data\")
plt.plot(x, y, \'c--\', label=\"theoretical curve\")
# 用 scipy.optimize.leastsq() 进行多项式函数拟合
p0 = [1, 1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值
pFit, info = leastsq(error4, p0, args=(x,yObs))  # 最小二乘法求拟合参数
yFit = fitfunc4(pFit, x)  # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
ax.plot(x, yFit, \'-\', label=\'leastsq\')
print(\"Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsq\")
print(\"y = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3\")  # 拟合函数的表达式
print(\"p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}\".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))
# 用 scipy.linalg.lstsq() 进行多项式函数拟合
print(\"nPolynomial fitting by scipy.linalg.lstsq\")
print(\"y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m\")  # 拟合函数的表达式
# 最小二乘法多项式数据拟合,求解多项式函数的系数 W=[w[0],...w[m]]
for order in range(1,5):
    # order = 3  # 多项式阶数, m
    X = np.array([[(xi ** i) for i in range(order + 1)] for xi in x])
    Y = np.array(yObs).reshape((-1, 1))
    W, res, rnk, s = lstsq(X, Y)  # 最小二乘法求解 A*W = b
    print(\"order={:d}\".format(order))
    for i in range(order+1):  # W = [w[0],...w[order]]
        print(\"tw[{:d}] = {:.4f}\".format(i, W[i,0]))
    # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
    yFit = X.dot(W)  # y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m
    # 绘图:n 次多项式函数拟合曲线
    ax.plot(x, yFit, \'-\', label=\'order={}\'.format(order))
plt.legend(loc=\"best\")
plt.show()

程序运行结果

Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsq
y = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3
p[0] = 0.9586
p[1] = -0.4745
p[2] = -0.3581
p[3] = 1.1721
Polynomial fitting by scipy.linalg.lstsq
y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m
order=1
	w[0] = 1.0331
	w[1] = 1.7354
order=2
	w[0] = 0.2607
	w[1] = 0.3354
	w[2] = 1.4000
order=3
	w[0] = 0.9586
	w[1] = -0.4745
	w[2] = -0.3581
	w[3] = 1.1721
order=4
	w[0] = 1.0131
	w[1] = 1.6178
	w[2] = -1.1039
	w[3] = -1.5209
	w[4] = 1.3465

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

3.4 Python 例程:样条曲线拟合

程序说明:

scipy.interpolate.UnivariateSpline() 类是一种基于固定数据点创建函数的方法,使用样条曲线拟合到给定的数据点集。

UnivariateSpline 类由已知数据点集生成样条插值函数 y=spl(x),通过调用样条插值函数可以计算指定 x 的函数值 f(x)。

UnivariateSpline 类既可以进行数据插值,也可以进行拟合。参数 s=0 表示数据插值,样条曲线必须通过所有数据点;s>0 表示数据拟合,默认 s= len(w)。

通过 set_smoothing_factor(sf) 设置光滑因子,可以对样条拟合函数进行调节,使拟合曲线更好地反映观测数据特征,避免过拟合。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
# Demo25 of mathematical modeling algorithm
# Demo of curve fitting with Scipy
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated:2021-08-03
# 5 非线性函数拟合:样条函数拟合(Spline function)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.interpolate import UnivariateSpline  # 导入 scipy 中的样条插值工具
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
# y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)
np.random.seed(1)
p0, p1, p2, p3 = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8]  # 拟合函数的参数
x = np.linspace(-1, 2, 30)  # 生成已知数据点集的 x
y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)  # 生成理论值 y
yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 fSpl
fSpl = UnivariateSpline(x, yObs)  # 三次样条插值,默认 s= len(w)
coeffs = fSpl.get_coeffs()  # Return spline coefficients
print(\"Data fitting with spline function\")
print(\"coeffs of 3rd spline function:n  \", coeffs)
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
yFit = fSpl(x)  # 由插值函数 fSpl1 计算插值点的函数值 yFit
# 对拟合函数 fitfunc 进行平滑处理
fSpl.set_smoothing_factor(10)  # 设置光滑因子 sf
yS = fSpl(x)   # 由插值函数 fSpl(sf=10) 计算插值点的函数值 ys
coeffs = fSpl.get_coeffs()  # 平滑处理后的参数
print(\"coeffs of 3rd spline function (sf=10):n  \", coeffs)
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.set_title(\"Data fitting with spline function\")
plt.scatter(x, yObs, label=\"observed data\")
plt.plot(x, y, \'r--\', label=\"theoretical curve\")
plt.plot(x, yFit, \'b-\', label=\"3rd spline fitting\")
plt.plot(x, yS, \'m-\', label=\"smoothing spline\")
plt.legend(loc=\"best\")
plt.show()

程序运行结果:

Data fitting with spline function
coeffs of 3rd spline function:
   [-0.09707885  3.66083026 -4.20416235  7.95385344]
coeffs of 3rd spline function (sf=10):
   [0.41218039 0.52795588 1.6248287  0.76540737 8.49462738]

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

4. 自定义函数曲线拟合

4.1 scipy.optimize.curve_fit() 函数说明

curve_fit() 使用非线性最小二乘法将自定义的拟合函数拟合到观测数据,不仅可以用于直线、二次曲线、三次曲线的拟合,而且可以适用于任意形式的自定义函数的拟合,使用非常方便。curve_fit() 允许进行单变量或多变量的自定义函数拟合。

**scipy.optimize.curve_fit(f,xdata,ydata,p0=None,sigma=None,absolute_sigma=False,check_finite=True,bounds=(-inf,inf),method=None,jac=None,kwargs) **

主要参数:

  • f:可调用的函数,自定义的拟合函数,具有一个或多个待定参数。拟合函数的形式为 func(x,p1,p2,…),其中参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列,p1, p2,… 是标量不能表达为数组。
  • xdata:n*m数组,n 为观测数据长度,m为变量个数。观测数据 xdata 可以是一维数组(单变量问题),也可以是多维数组(多变量问题)。
  • ydata:数组,长度为观测数据长度 n。
  • p0:可选项,待定参数 [p1,p2,…] 的初值,默认值无。

返回值:

  • popt:待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的最小二乘估计值。
  • pcov:参数 ( p 1 , ⋯ p m )的估计值 popt 的协方差,其对角线是各参数的方差。

4.2 Python 例程:单变量自定义函数曲线拟合

程序说明:

  1. 不同于 leastsq() 定义观测值与拟合函数值的误差函数,scipy.optimize.curve_fit() 直接定义一个自定义的拟合函数,更为直观和便于理解。
  2. curve_fit() 定义一个拟合函数,函数名可以任意定义,但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列,不能改变次序。p1, p2,… 是标量,不能写成数组。注意 leastsq() 中误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列,与 curve_fit() 不同。
  3. leastsq() 也可以对自定义的拟合函数进行最小二乘拟合。
  4. 由于本例程中自定义拟合函数使用了观测数据的实际模型,而不是通用的多项式函数或样条函数,因此拟合结果不仅能很好的拟合观测数据,而且能更准确地反映实际模型的趋势。

Python 例程:

# 6. 自定义函数曲线拟合:单变量
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.optimize import leastsq, curve_fit  # 导入 scipy 中的曲线拟合工具
def fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3):  # 定义拟合函数为自定义函数
    # p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)
    return y
# def error6(p, x, y):  # 定义观测值与拟合函数值的误差函数
#     p0, p1, p2, p3 = p
#     err = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3) - y  # 计算残差
#     return err
# 创建给定数据点集 (x, yObs)
p0, p1, p2, p3 = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8]  # y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)
x = np.linspace(-1, 2, 30)
y = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3)
np.random.seed(1)
yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
# # 用 scipy.optimize.leastsq() 进行函数拟合
# pIni = [1, 1, 1, 1]  # 设置拟合函数的参数初值
# pFit, info = leastsq(error6, pIni, args=(x, yObs))  # 最小二乘法求拟合参数
# print(\"Data fitting of custom function by leastsq\")
# print(\"y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)\")
# print(\"p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}\"
#       .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))
# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(单变量)
pFit, pcov = curve_fit(fitfunc6, x, yObs)
print(\"Data fitting of custom function by curve_fit:\")
print(\"y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)\")
print(\"p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}\"
      .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))
print(\"estimated covariancepcov:n\",pcov)
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
yFit = fitfunc6(x, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.set_title(\"Data fitting of custom function\")
plt.scatter(x, yObs, label=\"observed data\")
plt.plot(x, y, \'r--\', label=\"theoretical curve\")
plt.plot(x, yFit, \'b-\', label=\"fitting curve\")
plt.legend(loc=\"best\")
plt.show()

程序运行结果:

Data fitting of custom function by curve_fit:
y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)
p[0] = 0.9460
p[1] = 1.1465
p[2] = 0.8291
p[3] = 0.6008
estimated covariancepcov:
 [[ 0.01341654  0.00523061 -0.01645431  0.00455901]
 [ 0.00523061  0.02648836 -0.04442234  0.02821206]
 [-0.01645431 -0.04442234  0.20326672 -0.07482843]
 [ 0.00455901  0.02821206 -0.07482843  0.0388316 ]]

结果分析:

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

4.3 Python 例程:多变量自定义函数曲线拟合

程序说明

scipy.optimize.curve_fit() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题,本例程求解一个二元非线性拟合问题。

curve_fit() 定义一个拟合函数 fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3),函数名可以任意定义,但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列,不能改变次序。p1, p2,… 是标量,不能写成数组。

curve_fit(fitfunc7, X, yObs) 中的 X 是 (n,m) 数组,n 是观测数据点集的长度,m 是变量个数。

Python 例程

# mathmodel25_v1.py
# Demo25 of mathematical modeling algorithm
# Demo of curve fitting with Scipy
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated:2021-08-03
# 7. 自定义函数曲线拟合:多变量
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 Matplotlib 工具包
from scipy.optimize import curve_fit  # 导入 scipy 中的曲线拟合工具
def fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3):  # 定义多变量拟合函数, X 是向量
    # p0, p1, p2, p3 = p  # 拟合函数的参数
    y = p0 + p1*X[0,:] + p2*X[1,:] + p3*np.sin(X[0,:]+X[1,:]+X[0,:]**2+X[1,:]**2)
    return y
# 创建给定数据点集 (x,yObs)
p = [1.0, 0.5, -0.5, 5.0]  # 自定义函数的参数
p0, p1, p2, p3 = p  # y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)
np.random.seed(1)
x1 = 2.0 * np.random.rand(8)  # 生成随机数组,长度为 8
x2 = 3.0 * np.random.rand(5)  # 生成随机数组,取值范围 (0,3.0)
xmesh1, xmesh2 = np.meshgrid(x1, x2)  # 生成网格点的坐标 xx,yy (二维数组)
xx1= xmesh1.reshape(xmesh1.shape[0]*xmesh1.shape[1], )  # 将网格点展平为一维数组
xx2= xmesh2.reshape(xmesh2.shape[0]*xmesh2.shape[1], )  # 将网格点展平为一维数组
X = np.vstack((xx1,xx2))  # 生成多变量数组,行数为变量个数
y = fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3)  # 理论计算值 y=f(X,p)
yObs = y + 0.2*np.random.randn(y.shape[-1])  # 生成带有噪声的观测数据
print(x1.shape,x2.shape,xmesh1.shape,xx1.shape,X.shape)
# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(多变量)
pFit, pcov = curve_fit(fitfunc7, X, yObs)  # 非线性最小二乘法曲线拟合
print(\"Data fitting of multivariable custom function\")
print(\"y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)\")
for i in range(4):
    print(\"p[{:d}] = {:.4f}tp[{:d}]_fit = {:.4f}\".format(i, p[i], i, pFit[i]))
# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值
yFit = fitfunc7(X, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])

程序运行结果:

Data fitting of multivariable custom function:
y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)
p[0] = 1.0000	p[0]_fit = 1.1316
p[1] = 0.5000	p[1]_fit = 0.5020
p[2] = -0.5000	p[2]_fit = -0.5906
p[3] = 5.0000	p[3]_fit = 5.0061
estimated covariancepcov:
 [[ 9.51937904e-03 -2.82863223e-03 -5.26393413e-03 -8.51457970e-04]
 [-2.82863223e-03  4.88275894e-03  9.39281331e-05  3.73832161e-04]
 [-5.26393413e-03  9.39281331e-05  3.86701646e-03  4.65766686e-04]
 [-8.51457970e-04  3.73832161e-04  4.65766686e-04  1.85374067e-03]]

非线性函数的性质(讲解线性函数的定义)

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